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第259章 研讨班（第2页）

她停顿了一下，目光扫过黑板上的公式，然后直视陈辉，一双淡蓝色的眼睛如同刺骨的冰刀向陈辉射来，“我的问题是，对于您考虑的那类高度振荡、甚至在S上可能具有分形结构的退化系数ω，这种几乎单调性假设是否普遍成立？

如果存在一个反例，使得ω在任意接近S的点集上剧烈震荡，破坏了这种单调性，您引理3.1的核心估计是否会崩溃？

进而，您整个Holder连续性证明的根基是否会被动摇？”

研讨室瞬间安静下来，只剩下窗外的雨声，其他学生也纷纷点头或露出深思的表情。

陈辉开心的笑了起来，他脸上没有丝毫慌乱或被冒犯的神情，反而露出了一个更加明亮、近乎兴奋的微笑，“抱歉，请问你叫什么名字？”

“埃琳娜。”

女孩直视陈辉，嘴唇饱满而苍白，仿佛被雪原的寒风吻过，哪怕只是简单的一句话，都带这些倔强的味道。

“Excellentquestion，Elena.Trulyexcellent！”

陈辉的语气真诚而带着赞赏，埃琳娜的问题并非吹毛求疵，而是直指陈辉方法中一个潜在的、极其隐蔽的脆弱环节——一个在光滑或温和退化情形下可能被忽略，但必须被拷问的“魔鬼细节”。

这问题水平极高，显示出她对PDE正则性理论的深刻理解和敏锐的批判性思维。

陈辉转身面对黑板，拿起一支蓝色粉笔，在埃琳娜指出的不等式旁边画了一个圈。

“你抓住了要害，这个几乎单调性的观察非常敏锐，是的，在我的初步推导中，这个假设是隐含的，并且它确实依赖于ω在退化集附近行为不能‘过于病态’。”

他没有辩解，而是坦然承认了假设的存在，接着，他的语调陡然变得更具洞察力和启发性，“但是，让我们思考一下，为什么我们需要这个几乎单调性？

它的本质作用是什么？”

陈辉自问自答，粉笔在黑板上快速移动，不再是推导，而是勾勒思想的脉络，“它本质上是为了控制加权Morrey范数下，非线性扰动项在尺度变化过程中的行为！

具体来说，是为了保证当我们进行标准的迭代缩放过程以证明Holder连续性时，那个讨厌的非线性项不会因为权重的剧烈振荡而在不同尺度下产生不可控的、破坏性的共振放大。”

陈辉停顿了一下，目光扫过研讨室中的其他人，确保大家跟上了思路，这才继续说道，“那么，如果ω真的如你所说，在奇异集附近像疯狂的布朗运动一样振荡，我们该怎么办？放弃这个框架吗？”

陈辉做了个夸张的手势，模仿布朗运动，然后很快给出了自的答案，“不！”

“这恰恰提示我们，可能需要引入一个更精细的工具来刻画这种振荡对尺度变换的影响——也许是某种基于振荡积分或多尺度分析的新颖概念！

我们可以考虑定义一个依赖于振荡频率的有效退化指数，或者，更激进一点，将振荡模式本身视为方程自由边界的一部分？”

陈辉没有停留在修补漏洞上，而是以埃琳娜提出的反例可能性为跳板，瞬间将讨论提升到了一个更深刻、更前沿的层面！

他寥寥数语，勾勒了几个可能的研究方向，每一个都直指当前PDE前沿的难点，他巧妙地将“缺陷”转化为了“新机会”的启示。

研讨室中的同学们眼中的审视和挑战早已被沉思替代，他们彻底陷入了陈辉为他们勾勒的路径中，他们看到了惊人的前景，那路上的风景是如此迷人。

他们恨不得立马去思考这些问题，然后给出答案。

埃琳娜紧蹙的眉头已经舒展，眼中闪烁着被点亮的兴奋光芒，同样陷入了沉思。

陈辉没有去打扰他们，只是静悄悄的回到讲台，拿出一篇论文，认真的研读起来，一场研讨班还没开始，就已经陷入了集体沉默。

时钟滴滴答答的摇摆，两个小时一瞬即逝，看着陷入沉思的学生们，陈辉微笑着补充，“埃琳娜的反例可能性，就像一面镜子，照出了我们当前方法的边界。

感谢她提醒我们，在退化PDE的深海里，总会有更诡异的海怪等着我们去理解，去驯服。

这恰恰是这个领域令人着迷的地方——每一个看似是障碍的问题，都可能隐藏着一把开启新大门的钥匙。”

陈辉放下粉笔，双手撑在讲台上，目光炯炯，“所以，与其纠结于我的引理3.1在极端情形下可能失效，不如让我们沿着这个思路再深入一步，我们能否构建一个更鲁棒的框架，将系数振荡的‘病态程度’定量化？

能否找到一个普适的准则，告诉我们什么时候经典方法依然有效，什么时候必须诉诸于像振荡积分或多尺度这样的‘重型武器’？